4.5_同态、陪集与正规子群_习题2.ZH

1内容

习题 4.20. 考虑 $A_{4}$ 的以下子群 (之前已考虑过)：

(i) 证明 $H$ 是 $A_{4}$ 和 $S_{4}$ 的正规子群。(注意：您无需重新证明 $H$ 是子群，这已在习题 3.20 中完成。如果 $\sigma \in S_{4}$ 或 $A_{4}$，使用：$\sigma(a, b)(c, d) \sigma^{-1}= \sigma(a, b) \sigma^{-1} \sigma(c, d) \sigma^{-1}$。)

(ii) 证明 $A_{4} / H$ 的阶为 3，$S_{4} / H$ 的阶为 6。(实际上，根据例 3.2.7，$S_{4} / H \cong S_{3}$。)

(iii) 证明 $K=\{1,(1,2)(3,4)\}$ 是 $H$ 的正规子群但不是 $A_{4}$ 的正规子群。因此 $K \triangleleft H$ 且 $H \triangleleft A_{4}$ 但 $K \not \Delta A_{4}$。(对于 $D_{4}$ 也有类似的例子。)

习题 4.21. 设 $\mathbf{B}=\left\{\left(\begin{array}{cc}a & b \\ 0 & d\end{array}\right): a, d \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}\right\}$ 是习题 4.12 中定义的群，设 $\mathbf{U}$ 是子群 $\left\{\left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right): b \in \mathbb{R}\right\}$。证明 $\mathbf{U} \cong \mathbb{R}$ 且 $\mathbf{U} \triangleleft \mathbf{B}$。使用基本同态定理将商群 B/U 与一个更熟悉的群进行识别。

习题 4.22. 设 $G_{1}$ 和 $G_{2}$ 是群，设 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是同态。

(i) 证明如果 $H_{2}$ 是 $G_{2}$ 的正规子群，那么 $f^{-1}\left(H_{2}\right)$ 是 $G_{1}$ 的正规子群。

(ii) 证明如果 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的正规子群，那么 $f\left(H_{1}\right)$ 不一定是 $G_{2}$ 的正规子群。

(iii) 证明如果 $H_{1}$ 是 $G_{1}$ 的正规子群，并且 $f$ 是满射，那么 $f\left(H_{1}\right)$ 是 $G_{2}$ 的正规子群。

习题 4.23. (i) 设 $G$ 是一个群，设 $H$ 是 $G$ 的正规子群。设 $a \in G$。证明 $a H$ 在群 $G / H$ 中的阶等于使得 $a^{n} \in H$ 的最小正整数 $n$ (如果不存在这样的整数则为无限)。

(ii) 举一个群 $G$、 $G$ 的正规子群 $H$ 和元素 $a \in G$ 的例子，其中 $a$ 在 $G$ 中有无限阶，但 $a H$ 有有限阶。

(iii) 证明如果 $a$ 在 $G$ 中有有限阶 $n$，那么 $a H$ 的阶是有限的并且整除 $n$。$a H$ 的阶总是等于 $n$ 吗？

习题 4.24. 设 $G$ 是一个有限群，$f: G \rightarrow H$ 是一个满射同态。证明 $\#(\operatorname{Ker} f)=\#(G) / \#(H)$。

习题 4.25. 设 $G$ 是一个群，设 $H, K$ 是 $G$ 的两个子群。

(i) 如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \triangleleft G$，证明 $H \cap K \triangleleft G$。

(ii) 如果 $H \triangleleft G$，证明 $H \cap K \triangleleft K$。

(iii) 证明如果 $H \triangleleft G$ 且 $K \leq G$，那么

是 $G$ 的子群，包含 $H$ 和 $K$，且 $H \triangleleft H K$。

习题 4.26. 设 $G$ 是一个群，设 $H, K$ 是 $G$ 的两个正规子群，使得 $H \cap K=\{1\}$。证明对于所有 $h \in H$ 和 $k \in K, h k=k h$，即 $H$ 和 $K$ 中的任意两个元素都相互可交换。(提示：考虑元素 $h k h^{-1} k^{-1}$。)

习题 4.27. 设 $G$ 是一个群，设 $H=\{1, g\}$ 是 $G$ 的一个只有两个元素的子群。证明 $H$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当 $H \leq Z(G)$，其中 $Z(G)$ 表示 $G$ 的中心。

习题 4.28. 设 $G$ 是一个群，使得商群 $G / Z(G)$ 是循环群。证明 $G$ 是阿贝尔群 (因此 $Z(G)=G$。)(提示：设 $x Z(G)$ 是生成 $G / Z(G)$ 的一个陪集。证明 $G$ 的每个元素都可以写成 $x^{n} z$ 的形式，其中 $n \in \mathbb{Z}$ 且 $z \in Z(G)$。对于 $\left(x^{n_{1}} z_{1}\right)\left(x^{n_{2}} z_{2}\right)$ 你能说什么？)

习题 4.29. 设 $G$ 是一个群，且 $G \neq\{1\}$。证明 $G$ 是单群当且仅当对于每个群 $H$ 和同态 $f: G \rightarrow H$，要么 $f$ 是平凡的 (即 $\operatorname{Im} f=\{1\}$)，要么 $f$ 是单射。

习题 4.30. 对于 $n \geq 5$，并使用 $A_{n}$ 对于 $n \geq 5$ 是单群的事实，证明 $S_{n}$ 的每个正规子群 $H$ 要么是 $S_{n}$，要么是 $A_{n}$，要么是 $\{1\}$。(提示：首先，通过习题 4.25 (ii) 证明要么 $H \cap A_{n}=A_{n}$ 要么 $H \cap A_{n}=\{1\}$。如果 $H \cap A_{n}=A_{n}$，那么 $A_{n} \subseteq H$ 从而 $A_{n} \leq H \leq S_{n}$。证明 $\#(H)=n!/ 2$ 或 $\#(H)=n!$。如果 $H \cap A_{n}=\{1\}$，证明由符号同态给出的诱导同态 $\varepsilon: H \rightarrow\{ \pm 1\}$ 是单射。得出结论 $\#(H) \leq 2$。如果 $\#(H)=2$，使用习题 4.27 得出结论 $H \leq Z\left(S_{n}\right)$，即 $S_{n}$ 的中心，然后使用习题 3.17 得到矛盾。)

习题 4.31. 同构 $f: G \rightarrow G$ 称为 $G$ 的自同构。

(i) 证明群 $G$ 的所有自同构组成的集合 Aut $G$，即所有同构 $f: G \rightarrow G$ 组成的集合，是 $S_{G}$ 的一个子群。

(ii) 设 $f: \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 是一个自同构。证明 $f(1) \in(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$，即 $f(1)$ 是 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 的一个生成元，并且同构 $f$ 由 $f(1)$ 指定。使用此证明函数

由 $G(f)=f(1)$ 定义是一个同构，因此 Aut $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \cong(\mathbb{Z} / n \mathbb{Z})^{*}$。

习题 4.32. 假设 $G$ 是一个群，写成乘法形式。设 $g \in G$。定义函数 $i_{g}: G \rightarrow G$ 为：$i_{g}(x)=g x g^{-1}$。

(i) 证明 $i_{1}=\operatorname{Id}_{G}$ 且 $i_{g_{1}} \circ i_{g_{2}}=i_{g_{1} g_{2}}$。通过显式找到逆映射，得出结论对于所有 $g \in G$，$i_{g}$ 是一个双射。

(ii) 证明对于给定的 $g \in G$，$i_{g}$ 是从 $G$ 到自身的同构，因此是一个自同构。(您必须证明对于所有 $x, y \in G, i_{g}(x y)=i_{g}(x) i_{g}(y)$。) 同构 $i_{g}$ 称为 $G$ 的内自同构。

(iii) 证明 $G$ 是一个阿贝尔群 $\Longleftrightarrow$ 对于所有 $g \in G$，$i_{g}=\operatorname{Id}_{G}$。

(iv) 假设 $G=S_{n}$ 且 $\sigma$ 是 $S_{n}$ 的一个元素。证明如果 $\rho \in S_{n}$ 是一个 $k$-循环，那么 $i_{\sigma}(\rho)$ 是一个 $k$-循环，并且如果 $\rho \in S_{n}$ 是 $r$ 个长度为 $k_{1}, \ldots, k_{r}$ 的不相交循环的乘积，那么 $i_{\sigma}(\rho)$ 是 $r$ 个长度为 $k_{1}, \ldots, k_{r}$ 的不相交循环的乘积。(使用：$i_{\sigma}\left(\gamma_{1} \cdots \gamma_{r}\right)= i_{\sigma}\left(\gamma_{1}\right) \cdots i_{\sigma}\left(\gamma_{r}\right)$。)

习题 4.33. 设 $G$ 和 $i_{g}$ 如习题 4.32 中所述。

(i) 证明由

定义的函数 $F: G \rightarrow$ Aut $G$ 是从 $G$ 到 Aut $G$ 的同态。根据定义，$F$ 的像是由所有内自同构组成的子群。描述 $\operatorname{Ker} F$。

(ii) 证明 $\operatorname{Im} F$ 是 Aut $G$ 的正规子群。

习题 4.34. (i) 设 $f$ 是群 $S_{3}$ 的一个自同构。证明如果 $\tau=(i, j)$ 是 $S_{3}$ 中阶为 2 的元素，那么 $f(\tau)$ 也是。因此 $f$ 置换集合 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$，即它定义了从 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 到自身的一个双射。

(ii) 使用习题 4.13，证明如果 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 定义了从 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 到自身的相同双射，那么 $f_{1}=f_{2}$。

(iii) 证明对于 $\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ 的每个置换 $P$，存在一个 $S_{3}$ 的元素 $\sigma$ 使得 $i_{\sigma}$ 诱导置换 $P$。由 (ii) 得出结论 $S_{3}$ 的每个自同构都是内自同构，并且同态 $F: S_{3} \rightarrow$ Aut $S_{3}$ 是一个同构。

(注意：可以证明对于每个 $n \geq 3$， $S_{n}$ 的每个自同构都是内自同构，并且同态 $F: S_{n} \rightarrow$ Aut $S_{n}$ 是一个同构，除了 $n=6$ 的情况。)

习题 4.35. 根据习题 4.7，如果 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 是一个同态，那么存在 $a, b, c, d \in \mathbb{Z}$ 使得 $f$ 的形式为 $f(n, m)=n(a, c)+m(b, d)=(a n+b m, c n+d m)$，其中 $f(1,0)=(a, c)$ 且 $f(0,1)=(b, d)$。因此 $f$ 对应于一个具有整数系数的 $2 \times 2$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$，反之，每个这样的具有整数系数的 $2 \times 2$ 矩阵定义了一个同态 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。

(i) 使用一些线性代数，或直接证明 $\operatorname{Ker} f=\{(0,0)\}$ (即 $f$ 是单射) $\Longleftrightarrow (a, c)$ 和 $(b, d)$ 作为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量是线性无关的 $\Longleftrightarrow \operatorname{det} A \neq 0$，在这种情况下

是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的一个子群，同构于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$。

(ii) 证明 $H=\operatorname{Im} f$ 等于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，即 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 生成群 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，$\Longleftrightarrow \operatorname{det} A= \pm 1$。(提示：$H=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \Longleftrightarrow f$ 是满射 $\Longleftrightarrow f$ 是同构 $\Longleftrightarrow$ 存在一个逆同构 $g: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，必然对应于一个具有整数系数的 $2 \times 2$ 矩阵 $B$。证明在这种情况下，$A B=I$，因此，由于 $\operatorname{det} A$ 和 $\operatorname{det} B$ 是整数，所以 $\operatorname{det} A= \pm 1$。反之，如果 $\operatorname{det} A= \pm 1$，证明 $A$ 是可逆的，并且 $A^{-1}$ 具有整数系数，因此定义了一个同态 $g: \mathbb{Z} \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，它是 $f$ 的逆。)

(注释：(1) 可以证明 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的每个子群要么是循环群，因此等于 $\{(0,0)\}$ 或对于某个非零 $(a, b)$ 为 $\langle(a, b)\rangle$，因此 $\cong \mathbb{Z}$，要么是如上所示的 $H=\langle(a, c),(b, d)\rangle \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的形式。(2) 上述说明 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z})$ 是具有整数系数和行列式为 $\pm 1$ 的 $2 \times 2$ 矩阵群。具有整数系数和行列式为 1 的 $2 \times 2$ 矩阵的子群 $S L_{2}(\mathbb{Z})$ 是数论和复分析以及拓扑学和数学物理学中非常重要的群。它自然出现在椭圆函数和模形式的研究中。)

习题 4.36. 参考习题 4.8 和习题 4.35，假设 $H=\langle(a, c),(b, d)\rangle$ 是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的一个子群，其中 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 作为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量是线性无关的，并假设 $a$ 和 $c$ 互素。如习题 4.35 所示，定义

并设 $K=\langle(a, c)\rangle \leq H$。设 $A$ 是矩阵 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 且设 $N=\operatorname{det} A=a d-b c$；在必要时将 $(a, c)$ 替换为 $(-a,-c)$ 后，我们可以假设 $N>0$。证明 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H \cong \mathbb{Z} / N \mathbb{Z}$ 如下：设 $f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ 由 $f(n, m)=-c n+a m$ 定义。根据习题 4.8，$f$ 是以 $H=\langle(a, c)\rangle$ 为核的满射，因此 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / K \cong \mathbb{Z}$。接下来，证明 $K$ 在 $\mathbb{Z}$ 中的像 $f(K)$ 是 $N \mathbb{Z}=\langle N\rangle$。最后应用第三同构定理证明

习题 4.37. 在习题 4.35 和习题 4.36 的符号中，假设 $\langle(a, c),(b, d)\rangle= H$ 是 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的一个子群，其中 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 作为 $\mathbb{R}^{2}$ 中的向量是线性无关的，但未

假设 $a$ 和 $c$ 互素，证明 $(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H$ 是有限的，并且 $\#((\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H)= |\operatorname{det} A|$，其中 $A$ 仍是矩阵 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$，方法如下：

(i) 设 $d=\operatorname{gcd}(a, c)$，因此 $a=d a_{0}$ 且 $c=d c_{0}$，其中 $\operatorname{gcd}\left(a_{0}, c_{0}\right)=1$。设 $A_{0}=\left(\begin{array}{ll}a_{0} & b \\ c_{0} & d\end{array}\right)$，因此 $\operatorname{det} A=d \operatorname{det} A_{0}$。如果

那么使用习题 4.36 证明 $\left.\#(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H_{0}\right)=\left|\operatorname{det} A_{0}\right|$。

(ii) 使用习题 4.35(i) 的同构，即 $H_{0} \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$，证明 $H$ 对应于 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ 的子群 $\langle d\rangle \times \mathbb{Z}$，因此 $\#\left(H_{0} / H\right)=d$。

(iii) 最后应用第三同构定理证明

并使用 (i) 和 (ii) 得出结论 $\#((\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}) / H)=d\left|\operatorname{det} A_{0}\right|=|\operatorname{det} A|$。